Потеря точности с плавающей запятой в вычислениях Python numpy ⇐ Python

[Anonymous]

У меня очень странная ситуация: я вычисляю угол между двумя векторами в сферической системе координат. Сначала я вычисляю скалярное произведение двух векторов. Вычисление с использованием массива numpy дает результат с относительной точностью 10^(-16), как и должно быть для 64-битных чисел с плавающей запятой. Но затем я вызываю acos, и угол скалярного произведения numpy дает относительную точность 10^(-11), т.е. на 5 порядков или величину хуже по сравнению с прямым вычислением (что является правильным результатом). Есть идеи, почему?
#!/usr/bin/python
import numpy as np
import math

def testPrecision(theta1, phi1, theta2, phi2):

# We define two vectors as numpy arrays
t1 = np.array([math.sin(theta1) * math.cos(phi1), math.sin(theta1) * math.sin(phi1), math.cos(theta1)])
t2 = np.array([math.sin(theta2) * math.cos(phi2), math.sin(theta2) * math.sin(phi2), math.cos(theta2)])

# scalar product of vectors using numpy
scalarProd1 = np.einsum('i,i', t1, t2)

# scalar product of vectors without numpy
scalarProd2 = math.sin(theta1) * math.cos(phi1) * math.sin(theta2) * math.cos(phi2) + math.sin(theta1) * math.sin(phi1) * math.sin(theta2) * math.sin(phi2) + math.cos(theta1) * math.cos(theta2)

print("Scalar product:\nnumpy = {:.15e} vs direct = {:.15e}".format(scalarProd1, scalarProd2))

alpha1 = math.acos(scalarProd1)
alpha2 = math.acos(scalarProd2)

print("Angle:\nnumpy = {:.15e} vs direct = {:.15e}".format(alpha1, alpha2))

testPrecision(theta1 = 1.745329251994330e-02, theta2 = 2.154759397163566e-02, phi1 = 1.745329251994329e-01, phi2 = 2.078144368653071e-01)

Результат
Scalar product:
numpy = 9.999914101231913e-01 vs direct = 9.999914101231911e-01
Angle:
numpy = 4.144849600753233e-03 vs direct = 4.144849600780019e-03


Подробнее здесь: https://stackoverflow.com/questions/788 ... lculations