Оптимизация поиска блока из 2004 последовательных целых чисел, содержащих ровно 12 простых чисел ⇐ Python

[Anonymous]

Я энтузиаст математики, в настоящее время занимаюсь личными вычислительными исследованиями: нахожу первый блок из 2004 последовательных целых чисел, который содержит ровно 12 простых чисел. Задача чисто развлекательная, но требует больших вычислительных ресурсов.
**Постановка задачи**
Найдите наименьшее целое число \( N \ge S \) такое, что среди чисел 2004 года
\( N, N+1, \dots, N+2003 \) ровно 12 являются простыми.
Я установил диапазон поиска, начиная с \( S = 11584520000 \) и подняться до верхней границы \( U = 413523644431096202640000 \) (приблизительно \( 4,135 \times 10^{23} \)).
**Текущий подход**
Я использую скользящее окно размера 2004 в сочетании с Вероятностные тесты на простоту Миллера-Рабина (с использованием первых 12 простых чисел в качестве оснований, которые являются детерминированными для чисел < 2 ^ 64 и имеют чрезвычайно низкую вероятность ошибки, кроме этого). Для каждого нового целого числа, попадающего в окно, я проверяю его простоту и обновляю счетчик простых чисел.
Я уже реализовал это на Python и запускал на Kaggle около 4,55 часов (см. [этот блокнот](https://www.kaggle.com/code/mengaidev/s ... =298163592)), сканируя лишь небольшую часть диапазона. Полный поиск явно выходит за рамки возможностей одной машины; верхняя граница огромна ( \( \sim 10^{23} \) ), и даже при оптимизированном скользящем окне количество необходимых тестов на простоту колоссально.
**То, что я ищу**
Я ищу **математические или алгоритмические идеи**, которые могли бы радикально сократить пространство поиска или ускорить тестирование на простоту. Например:
* Известны ли результаты или ограничения плотности (например, по модулю малых простых чисел), которые вызывают определенные шаблоны, допуская большие пропуски?
* Может ли условие «ровно 12 простых чисел в числах 2004 года» быть связано со свойствами созвездий простых чисел или пробелов, позволяющими более целенаправленный поиск?
* Существуют ли более быстрые детерминированные тесты на простоту, подходящие для чисел в этом диапазоне (например, хорошо подобранный набор оснований Миллера–Рабина, доказанный для чисел до \( 10^{24} \))?
* Есть ли какая-либо теоретическая причина полагать, что такое \( N \) существует? (Я подозреваю, что так и есть, но доказательство существования было бы интересно само по себе.)
Я **не** напрямую прошу распределенные вычислительные ресурсы, а, скорее, какие-либо математические упрощения, которые могли бы сделать проблему разрешимой в разумные сроки. Если проблема окажется по своей сути сложной, я также был бы признателен за ссылки на аналогичные известные результаты.
**Дополнительная информация**
* Моя реализация Python и дополнительные сведения доступны в этом [репозитории GitHub] (https://github.com/MengAiDev/primes12-in-2004-nums) (в коде используется скользящее окно и метод Миллера-Рабина, как описано).
* Верхняя граница \( U \) получается из умозрительного верхнего предела в блокноте Kaggle; это математически не оправдано, поэтому меньшая строгая граница также была бы полезна.
Спасибо за любые идеи и подсказки!

Подробнее здесь: https://stackoverflow.com/questions/798 ... ng-exactly