Почему мой расчет конечно-разностных весов для рядов Тейлора дает неверные результаты? ⇐ Python

[Anonymous]

Я пытаюсь вычислить веса конечно-разностной аппроксимации первой производной f'(x)f'(x)f'(x), используя разложение в ряд Тейлора. Я нахожу веса a,b,c,d,ea, b, c, d, ea,b,c,d,e такие, что:
af(x+2Δx )+bf(x+Δx)+cf(x)+df(x−Δx)+ef(x−2Δx)a f(x+2\Delta x) + b f(x+\Delta x) + c f(x) + d f(x-\Delta x) + e f(x-2\Delta x)af(x+2Δx)+bf(x+Δx)+cf(x)+df(x−Δx)+ef(x−2Δx)
приближает f'(x)f'(x)f'(x). Вот что я сделал:

• Я использовал разложение в ряд Тейлора для f(x±kΔx)f(x \pm k\Delta x)f (x±kΔx), где k=1,2k = 1, 2k=1,2.
• Я построил систему линейных уравнений обеспечить соблюдение следующих условий:
  • Коэффициенты f(x): a+b+c+d+e=0
  • Коэффициенты f′(x): 2a+b−d−2e=1
  • Коэффициенты f′′(x): 4a+b+ d+4e=0
  • Коэффициенты f(3)(x): 8a+b−d−8e=0
  • Коэффициенты из f(4)(x): 16a+b+d+16e=0
• Я реализовал матричное уравнение A⋅z=bA \cdot z = bA⋅z=b в Python:

  Код: Выделить всё

  import numpy as np
  
  A = np.array([
  [1, 1, 1, 1, 1],      # Coefficients of f(x)
  [2, 1, 0, -1, -2],    # Coefficients of f'(x)
  [4, 1, 0, 1, 4],      # Coefficients of f''(x)
  [8, 1, 0, -1, 8],     # Coefficients of f'''(x)
  [16, 1, 0, 1, 16]     # Coefficients of f''''(x)
  ])
  
  b = np.array([0, 1, 0, 0, 0])  # Targeting the first derivative
  
  z = np.linalg.solve(A, b)
  print(z)
  
  

• Проблема:
  Я получаю следующий результат:

  Код: Выделить всё

  [0.25,0,-0,0,-0.25]
  

  Однако ожидаемые веса первой производной должны быть примерно такими:

• Код: Выделить всё

  [-1/12,2/3,0,-2/3,1/12]
  

• Что я пробовал:
  
  Проверено дважды коэффициенты в матрице A, чтобы убедиться, что они соответствуют разложению в ряд Тейлора.
• Проверено, что вектор правой части b=[0,1 ,0,0,0] корректно аппроксимирует f′(x).

Несмотря на это, веса неверны. Я что-то упустил в настройке матрицы или реализации Python?

[*]Ожидаемое поведение:
I хотим, чтобы решение соответствовало теоретическим весам для центральной конечно-разностной аппроксимации первой производной f'(x) с использованием пяти точек.



Подробнее здесь: https://stackoverflow.com/questions/793 ... ve-incorre