Есть ли способ программно получить значение этого параметра?
Есть три варианта: 1. Спросить, 2. Разрешить, 3. Отказать. По умолчанию установлено значение «Спросить».

Или вы не знаете, можно ли проверить разрешение и разрешить его в приложении?
Я не нашел ничего подобного в документации UIPasteboard или UIPasteConfiguration.
Мобильная версия